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2016年10月17日 (月)

四色問題

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読書メーターで登録し始めて1000冊目になりました。

累計33万ページでだいたい1冊につき332ページ程度のようです(青空文庫とかで数ページしかないのも含んでますが)。

1000冊はともかく、33万ページって言うと滅茶苦茶読んでるなあと思ってきます。

さて1000冊目になったのがタイトルの四色問題という本です。

四色問題は1852年にフランシス・ガスリーが発見?し、1976年にヴォルフガング・ハーケンとケネス・あっペルにより証明された問題です(証明されたので現在は四色定理です)。

証明されたときには朝日新聞にも掲載された。

地図製作者は経験的に知っていたようなので上記で発見?と書きましたが、本当かどうかは不明確でした。

四色問題は至ってシンプルでどんな地図でも隣り合う国を色違いで塗るには四色あれば可能であることです。

点で接する国同士(対角の関係にする国)は隣とはしないので、同じ色でもOKです。

フェルマーの最終定理もそうですが命題が単純なほど意外と証明は難しいものです。

また単純だから一般の人もこの問題に取り組み、「不思議の国のアリス」等の著者のルイス・キャロルも挑戦したようです。

問題が提起された頃はあまり反響もなく比較的無名な数学者が取り組んでいて、一流の数学者からは「三流の数学者しか取り組んでいないから証明されないだけで、一流の数学者がやれば簡単に証明できる」といって取り組んだたら、途中で挫折したという話もあるとか。

一般の人があまり知ることがない四色問題ですが、「容疑者Xの献身」で湯川が石神と友人となるきっかけの問題として登場するので、一部の人には結構知られています。

そのきっかけだけかと思いきや、実は深い意味が隠されていたようです。

というのも四色問題は隣り合う国の色が同じであってはいけないということから、石神と隣人の花岡靖子と一緒になってはいけないとか二人共有罪になってはいけないとか石神的には考えていたようです。

さて、四色問題ですが石神のセリフとして四色問題の証明が美しくないというのがあります。

何が美しくないかというと最終的な証明のチェックをコンピュータを使ったからです。

コンピュータは物理学者などの科学者も仮説を検証するためにシミュレーションの形で現在では当たり前のように使われるものですが、証明の中で使われることはまずないんじゃないかなあと思う。

地図なんて無限に存在しますが、それをパターン化して、法則を見出し、さらにパターンを簡略化しても数千とか数百パターンもあり、人の手じゃ追いつかないし誤りもありそうだから、コンピュータを使用したようです。

やり方があってればその計算というかチェック法は追っていけるので、それが合っているかどうか検証も追跡でき、まあ問題はないようですが、当時(今はどうか知りませんが)はこの証明法について大分物議を醸したようです。

自信を持ってハーケンが発表したら、聴講者は冷たい反応だったとか。

否定はされず結果は受け入れられているようですが、酷い数学だとも言われいている。

ちなみに手計算のところも含めて論文は700ページ以上とのこと。

フェルマーの最終定理やABC予想もそうですが、最近の論文は数百ページとかにも及ぶのが多々あるみたいですね。

この本の内容はその歴史も含めて、序盤は比較的簡単なので詳しく説明してくれており、一般の人でも理解できますが、終盤は最小反例とか可約配置とか還元障害とかわかりそうでわからない用語も出てくるし、難しいということもあるのでわかりにくくなってます。

その数学的なところは置いておいたら、十分読めるし、面白かったです。

違うアプローチ方法が生み出されたら、もっとエレガントな証明方法が出てくるかもしれない。

フェルマーの最終定理もモジュラー曲線とか超難易度が高い証明になってますが、もし以前に書いたABC予想がいい具合に証明されたら、それを使用すれば簡単に証明することができます。

一度証明された問題に取り組む人は非常に少ないと思いますが、石神のように美しくないということで新たな証明方法を生み出そうと頑張ってくれる人が出て、エレガントな証明が出てきてくれることを期待してます。

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