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2016年2月29日 (月)

素数定理

小難しい話第二編で、今日読み終えた本の内容です。

素数定理は自然数の中にどれくらいの割合で素数があるかを述べた定理です。

素数は言うまでもないと思いますが、1とそれ自身以外で公約数を持たない数(1は含まない)です。

2,3,5,7,11,13,17・・・

0から実数xまでに含まれる素数の数をπ(x)と表します。

一見ランダムに素数が現れるのにそんなもん数える手段があるのかと思ってました。

最初の言い出しっぺは18,19世紀のガウス(磁気の単位になってるあの天才)とかルジャンドルらしいですが、ガウスはだいたい十分大きな自然数Nに対して、その近辺に素数がある確率は、1/log(N)だと予想したとのこと(ガウス15才のときらしい、自称ですが)。

logは自然定数e(ネイピア数とかオイラー数とも言う)を底とした対数です。

なので、近似的には

π(N)~N/Log(N)

と表せる。

Nが10京くらいで誤差が2.5%らしいです。

次にリーマン(今回読んだ本の主人公で、プレミアム問題のリーマン予想の人)は1/logxを積分した関数Li(x)を持ってきて、

π(x)~Li(x)=∫(t=2→x)dt(1/logt)

とした。

これだとNが1兆で、誤差が4.0×10^(-6)%くらいで非常に精度が良い。

またあまりでかくない場合は

x/log(x) < π(x) < Li(x)

です。

π(x)<Li(x)ですが、これが逆転する値が、大分前に書いたことがある数学上意味のある最もデカイ数であるスキューズ数で、e^e^e^79で、だいたい桁数が「10の1兆乗の1兆乗の100億乗」らしいです。

ちなみに宇宙に有る原子の数は80桁程度です。

それはともかく素数の数がN/log(N)で簡単に近似できるのが面白い。

またLi(x)ですが、一見関係してなさ気なリーマン予想にも登場するゼータ関数ζ(x)とも関係していたのがびっくりでした。

やっぱ天才の考えることは半端ないです。

読んだ本はこちら

素数に憑かれた人たち

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